高校生の数学

－数学の学習を通して将来に役立つものの考え方、見方を身につける。こうした姿勢で学び続けることが、東大をはじめとする難関大学の入試問題を解く上でますます必要になっています－
数学科　越川 将也
数学科　越川 将也
はじめに－知識だけでは乗り越えられない受験数学
難関大で要求されるのは知識の多寡ではなく、知識をいかに運用するかです。
Q：まず、グノーブルの高校数学の指導方針、授業の様子などを教えて下さい。
　大学受験塾として入試を突破できる学力の育成を目指すのは大前提ですが、より本質的なことを述べれば、数学を学ぶ意義とは、物事を論理的に考え、分析し、さらに視点を転換させるなどの発想力を鍛えることによって、問題を自力で解決する力を身につけてもらうこと、そしてそれによって将来、大学生や社会人になってからも役立つものの考え方、見方を身につけてもらうことだと思います。
　近年の入試の状況を見ると、こうした本質的な能力を身につけることが受験においてますます重要になっていると考えられます。
　というのも、以前の入試では難問や奇問、計算量が膨大な問題が出題されることが少なくありませんでした。しかし近年は難関校ほど、問題を読んだときに解いたことがないな、と思えるような問題であっても、各単元の本質を理解し、他の単元とのつながりがわかっていれば方針が立つような問題が多く出題されるようになっています。
　例えば東京大学の入試では、整数が題材になった問いや、図形分野の問いなど、発想の柔軟さを問うような問題が出題されます。図形分野の問いでは、出題形式がベクトルや座標平面だったとしても、意図的に初等幾何的な見方をすることによって簡単に糸口が見つかったりすることがあります。
　こうした出題は東京大学の「大学案内」に掲載されている 「高等学校段階までに身につけてほしいこと」 の一節「数学的に問題を解くことは、単に数式を用い、計算をして解答にたどり着くことではありません。どのような考え方に沿って問題を解決したかを、数学的に正しい表現を用いて論理的に説明することです。」という内容に沿ったものだと考えることができます。
　受験数学の中には、たしかに単純に数学的な技法や知識が問われる出題もありますが、難関とされる大学で要求されるのは知識の多寡ではなく、知識をいかに運用するかが中心となっています。
Q：受験生にとってそうした入試問題は取り組みやすいのでしょうか。
　実際、高校３年生になると、それまでの学習で蓄積されている知識だけでは目の前の問題に対応できないという悩みに直面する生徒が多いのです。
　テストでは良い点をとれていても、実際の問題を前にすると時として全く無力になってしまうことから知識だけでは対応できないことがあると実感しても、そこから先に進む方法論が見つからずに不安に思う受験生は少なくありません。いくら勉強量を増やしても自分ひとりではなかなか解決しづらい問題がそこにはあります。
　こうした難関大学の受験数学をめぐる状況に対して、どのように私たちが取り組んでいるのかについてお話したいと思います。
自分の力で解けるようになるために
「センス」や「ひらめき」という表現で片付けることなく、意識的に段階を踏むことで、着実に学力を身につけられるのがグノーブルの数学です。
Q：グノーブルでは、数学の力をつけるためにどのようなことが大切であると考えているのでしょうか。
　大学入試の数学では、提示された条件から結論を論理的に導くことが要求されます。つまり、
● 問題文から全条件と目標を把握し、
● 条件や目標に応じた妥当な方針を立て、
● 個々の手法や計算を正確に遂行すること
が要求されるということです。
　数学という科目の性質上、ある程度の学力があるならば、解説を聞いたり読んだりすれば、解答に至る過程を理解することができるとは思いますが、実際には解説なしに自分の力だけでこのすべてをやりきることが必要であり、その力を身につけなければなりません。
Q：どのようなことに気をつければ自分の力で解く力がつくのでしょうか。
　グノーブルでは、以下のことを達成状況に応じて意識的に行うと良いと考えています。
Ⅰ．具体的な問題に対して解法を理解する。
　これは、表面的に数値の求め方を知ることではなく、本質的に解法を理解することを意味しています。自分の頭で考え抜いて、この手法と流れで要求に応えたことを心の底から納得することです。
　そのためには、問題文から条件と目標を正しく捉えることや数学独特の記号や性質、導入された背景などの最低限のルールを正しく習得できていることが当然必要です。そのため、場合によっては疑問点が多く出てきて、それを解決できるようになるまでには時間がかかるかもしれません。
　しかし、この本質的に解法を理解することを妥協せずに行うことが、数学の力を伸ばすためには不可欠です。小手先だけの知識をいくら増やしてもその運用はできません。この時、個々の手法の選択理由を理解するところまで踏み込めると次のステップにつながっていきます。
Ⅱ．解法を抽象化し、解法の階層的ネットワークを帰納的に構築する。
　次にすべきことは抽象化です。本質的に解法の理解できる問題を増やしていくと、解答を導く手法の選択の理由や解法全体の流れが類似しているもの、関連づけできるものが見つかります。それらの共通性を見出して、個々の手法に適切な名前をつけたり、解法全体をフローチャート化したりします。
　さらには、それらが並列的なのか階層的なのかを考えながら、小カテゴリー、中カテゴリー……、とまとめてゆき、解法の階層的ネットワークを構築します。
Ⅲ．構築できたネットワークから解法を演繹的に選択した上で、問題を解く。
　実際の問題を解くときに、その問題の条件と目標を踏まえ、構築済みのネットワークから妥当な方針を導けるようにします。つまり、正解したか・正解しなかったかにこだわるのではなく、方針を必然的に導けたかどうかにこだわります。
　仮に導けなかったのであれば、その問題に対してⅠ、Ⅱを繰り返し、ネットワークを修正・補足していくことになります。
　この、ネットワークから導いた方針には再現性や汎用性があります。ここまで完成すれば、解法だけを見ればあたりまえの手法を用いている初見の問題が、自力で解けるようになります。これが「知識を運用する」ということです。
　数学の得意な人とは、Ⅰだけでなく、ⅡやⅢの行為が無意識的にできている人のことです。「センス」や「ひらめき」という表現で片付けられることが多いのですが、これらをきちんと意識的に進めることで、着実に自分の力で解く力を身につけることができるようになります。
　このⅠ、Ⅱ、Ⅲのステップをたどるために、グノーブルでは主に高校３年生の授業で取り入れている仕組みのひとつとして、「セルフチェックシート」があります。
「セルフチェックシート」について
自分の理解度を分析し客観視することで、次のステップへつなげるためのツールが「セルフチェックシート」なのです。
Q：「セルフチェックシート」について教えてください。
　高校２年生の文系と３年生の授業で宿題にした問題に対し、「各自の解法について、日本語と数式や図で要約したもの」を「セルフチェックシート」に自宅で記入し、提出してもらっています。
　このシートは、取り組んだ問題が「解けた」か「解けない」かを書くものではありません。解けた問題に対しては「どう解いたか」を、解けなかった問題に対しては「何ができなかったか」を適切な言葉で、ポイントを絞って客観的に説明してもらうものです。



Q：なぜ、「セルフチェックシート」が自分の力で問題を解く力をつけるために役立つのですか。
　数学の力をつけるには先ほど述べた３ステップが必要だと考えます。
　Ⅰ．具体的な問題に対して解法を理解する。
　Ⅱ．解法を抽象化し、解法の階層的ネットワークを帰納的に構築する。
　Ⅲ．構築できたネットワークから解法を演繹的に選択した上で、問題を解く。
　これは抽象的な思考ができるようになる、と言い換えても良いのですが、このネットワークが築きあげられれば、初見の問題に対して各自が持っているネットワークを基にして、この問題は条件にこういうものがあって目標がこうだからこれを利用しよう、という具合に対処できるようになります。
　初見の問題に出くわしたとき、場当たり的にそこにある式をいじって答えを出したのかではなく、こうした解法のネットワークを利用して必然的に解けたかどうか、自らが立てた妥当な方針の基で確信的に行動して答えを導けたかどうかが大切です。冒頭にお話した、知識を運用できるようになるためには、このステップをクリアする必要があります。
　「セルフチェックシート」をいざ書いてみようとしたとき、まず、問題が深く理解できていないと何も書けません。つまり、自分の理解度を確認することができ、ここがⅠにつながるのです。
　次に、解法を要約しますので、個々の手法や全体の流れの抽象化ができていないと枠内におさまりませんし、相手に伝わりません。ここがⅡにつながります。
　最後に、すべての数学的行動にはそれをする理由があります。自分の解法を要約するとき、再現性や汎用性のある行動ができているのかを今一度考えることができます。これがⅢにつながります。
　「セルフチェックシート」は先ほどのステップをたどることができているのかを一人ひとりが客観視するための最強のツールです。「セルフチェックシート」に真摯に取り組むことで数学の力が飛躍的に上がります。
Q：問題を自力で解く力を伸ばす点で「セルフチェックシート」が有効な理由をさらに詳しく教えてください。
　受験直前期には、授業内で問題を解き、その解説を聞いた後に、その問題について「セルフチェックシート」を書くように指示するクラスもあります。この場合、直前期ということもあり、なぜ解けなかったのかの反省が綴られることが多く、誤答を本番に繰り返さないための戒めのような内容が多くなります。
　また、宿題にした問題の「セルフチェックシート」では、「〇〇の言い換え方がわからない」のように、できなかったことをピンポイントで書いている生徒が多く見られます。その場合、できなかったこと、知りたいことが明確になった上で授業を受けるわけですから、学習効果が高まります。
　ここで大切なのは、自分の中から湧き上がってきた感情や問題提起に勝るものはないという点です。自分を客観視することで、主体的に取り組めるようになるのです。
Q：高校３年生からはどのような学習になるのでしょうか。
　受験学年の数学は、年間を通じて、先ほど述べたⅠ～ⅢのうちのⅠの視点からの解説だけでなく、Ⅱ、Ⅲの視点での解説をしますが、前期に知識を運用する力をつけ、後期に実際に運用できるかを確認するようなカリキュラムになっています。
　前期は分野や単元に応じた行動原理や各種手法の使用上の注意点を伝え、宿題にした問題に対しては先ほどの「セルフチェックシート」も提出してもらいます。
　また、後期は実際の入試のように単元にとらわれないテストセットを、制限時間を設けて解きます。例年、大問３、４題に対して、80分～100分程度で実施しています。解いた問題については、その場で解説し、答案は回収・採点・添削して返却します。得点力や答案の作成力を高めることも目的ですが、より実戦的な問題で、各自が前期に完成した解法のネットワークを確認・修正・補足することも目的です。
東大や医学部など志望校に向けた学習について　
東大では解き方だけを見ればあたりまえの手法を使っているけれど、そのあたりまえの手法が簡単には出てこない盲点を突いた「やさしい良問」が出題されます。
Q：志望校に向けた取り組みについてはどのようになっているでしょうか。
　グノーブルでは中高６年間の共通した取り組みとして、導入時の授業では、先ほどお話したⅠ～Ⅲのうち、Ⅰに力を入れています。その中では数学を楽しむ気持ちを育むことも大切です。さらに、ⅡやⅢへ取り組むことで、数学全般の力をつけることができます。一方で受験学年ともなれば、大学別の出題形式や出題傾向に慣れることで得点力を高めることも大切です。そのため、受験学年では大学別の講座を開講しています。


Q：東大受験に向けてどのように学習を進めていけば良いでしょうか。
　東大では「未見の問題への建設的対処力」が必要とされるため、表面的に公式を覚え、単にそれにあてはめて解くような問題ではなく、本質が理解できているかを問うような問題、つまり、受験数学の世界で言うところの「やさしい良問」が出題されています。
　これは難解であることを善しとするのではなく、解き方だけを見ればあたりまえの手法を使っているけれど、そのあたりまえのことが簡単には出てこない盲点を突いた問題です。
　グノーブルではこれまで説明してきたような方法や流れをとることで、知識の多寡ではなく、知識を運用する力をつけていきますので、東大の入試問題に十分対応可能です。
　もちろん、どれだけ順調に学習を進めていても高校３年生の演習になると、「もっとできると思っていたけれど、全く解けない」という生徒が出てきます。ここで問題になるのが、「なぜ解けないのか」を生徒自身が正しくわかっていないケースが多いことです。知識が足りないのではなく、知識を運用する力が足りないのです。
　高校３年生の前期授業では、その点に対する切り込みを、授業の枠最大限と「セルフチェックシート」を使って行います。その後、後期授業では徹底した演習授業を行い、前期までに身につけた手法を有効に使いこなせるだけの力を演習していき、東大はもとより各難関大学が入試問題を通して要求する課題を突破する力と自信を身につけていくようにしています。
Q：2019年入試時には医学部受験生対象に私立大医学部の主要12大学の数学過去問の解説をホームページ上で公開されていました。
　医学部の数学には、例えば慶應大医では2000年以降ほぼ毎年２番に確率漸化式が出題されているなど、学校ごとに顕著な出題傾向・頻出単元があります。このような情報を事前に知った上で解答の流れを適切な解説で把握しておけば、基本的な学力が身についている生徒であれば、直前期であっても短期間で確実に得点力がアップします。
　そこで、医学部受験生にとって数学の最後の詰め・仕上げの指針となるように、2019年入試時はホームページに主要私立大医学部12校の過去問についてグノーブル数学科による独自の解答解説と傾向分析を掲載しました。短期間の特別掲載でしたが、大変多くの閲覧がありましたので、直前の受験生に資することができたのではないでしょうか。
　今後も様々な形で、受験生に役立つ情報を提供していく予定です。
実力を伸ばした数学受講生の学習方法について　
授業を通して、この方法論なら初見の問題でも自力で解けるようになると感じ、こうした勉強を繰り返すことで模試の成績も良くなって、数学が好きになるという好循環が生まれ、最終的に志望校に合格しました。
Q：卒業生の中で、大きく実力を伸ばされた例を教えてください。
　東京大学の文科Ⅰ類に合格した女子生徒の場合ですが、彼女はもともと数学が苦手でした。
　問題の解説を聞けば答えへのたどり着き方はわかるけれど、なぜそのような解法を採用するのかがわからないために、初見の問題がほとんど解けず、どのように勉強したら良いかもわからず途方に暮れていたのです。
　グノーブルの受験学年では、具体的な問題の解法を伝えるだけでなく、その解法に至る道筋、つまり、妥当な方針の導き方を論理的に説明します。彼女は授業を通して、この方法論なら初見の問題でも自力で解けるようになると感じ、やる気が出てきたようです。さらに、このような勉強を繰り返すことで、模試の成績も良くなり、数学が好きになるという好循環が生まれ、最終的に志望校に合格しました。
　以下はその受講生のコメントです。
　私は中学受験の頃から算数が嫌いで、高２までの４年間数学をサボっていました。だから、本当に数学ができませんでした。問題の解き方がわからないし、勉強の仕方もわかりませんでした。ほとんどの人は教科書の問題を解いていくとわかるようになるのでしょうが、私はそもそも教科書の問題が全く解けなかったんです。
　でも、グノに通ったら、「数学が一番伸びた」と言ってもいいくらい伸びました。高３の秋の模試では全国偏差値が65を超えましたし、数学が安定したから他の科目にも集中できました。グノで数学の成績が劇的に変わらなければ、そもそも国立大学を受けていなかったかもしれません。
　グノの授業で「こういうふうにやればいいんだよ」「この考え方を使えば解けるよ」ということを、感覚ではなく言葉で論理的に教えてもらえたので、体系立てて積み重ねることができ、自信とやる気が出てきました。
　セルフチェックシートも力になりました。シートを埋めるのは大変でしたが、先生が私以上にコメントを書いてくださるので、それを励みに、「ちゃんとやろう」と自分を奮い立たせました。シートを書き続けたおかげで、正答する見込みがある失敗と全く見当違いの失敗とを区別できるようになりました。何よりも最後のほうは数学がとても好きになって、本番でも得点源になりました。
（東大文科Ⅰ類　O.A.さん　桜蔭）
Q：数学の得意な生徒の場合はいかがでしょうか。
　東京大学の理科Ⅰ類に合格した男子生徒の場合ですが、彼はそもそも抽象化思考を意識せずにできていました。つまりグノーブルの受験学年で採用している仕組みが半ば当然のようにできていました。そのため、模試などでの数学の成績も非常に良かったです。
　このレベルに達している生徒は、とにかくいろんな問題をまず自分の頭で考えた上で解決しようとします。そのような取り組み方を通して、自然に妥当な方針を立てるための解法のネットワークが形作られていきました。
　さらにそのネットワークが彼にとって最も使いやすいものであるため、こちらは彼が本当に困っているときにきっかけとなるアドバイスをする程度で、思考の枠組みを無理に用意するようなことはありませんでした。
Q：そうした生徒の場合はどのような問題に取り組むのでしょうか。
　グノーブルでは、数学が得意な生徒だとしても、いたずらに大量の問題や、いわゆる難問や奇問に取り組んでもらうようなことはしません。
　模試などからわかる生徒の表面的な実力だけでなく、これまでに提出してもらったセルフチェックシートから判断できる、数学の問題を解く上での癖や得手不得手を踏まえ、その生徒にとって一番必要な難易度の問題を解いてもらうことを心がけています。そうすることで、解けたときには達成感をもってもらえる問題、解けなかったときには学ぶべき点のある問題に取り組んでもらうようにしています。
　彼の場合はこうした指導を通して、グノーブルが考える思考方法をとても早い段階で獲得することができていた例だと思います。
　また、次の生徒のコメントにも同様にグノーブルの数学の特色が表れていると思います。
　高３の数ⅠＡ ・ⅡＢには、僕が苦手な発想を要求される問題がありました。そういう問題に対して、そのときのコンディションやひらめきなどに頼るのではなく、「こういう問題はこう解く」という方法論を示してくれたのがグノの授業でした。
　センスに頼ると限界になってしまう部分を戦略的に考えられるようになって、数学の力が伸びました。戦略的な方法論が身についたのは数Ⅲでも同様でした。
（東大理科Ⅲ類　K.F.さん　開成）
Q：お勧めできない数学の取り組み方というのはありますか。
　何でも暗記で制するような取り組み方はお勧めできません。とくに記憶力が良いと、それに頼ればある程度は点数がとれるので、暗記による勉強法に固執しがちです。
　このような生徒は、知識を増やすことが数学の力を伸ばすことだと誤解しているため、グノーブルの取り組み方を伝えると、かなりとまどいを感じる場合があるようです。中には勉強法だけでなく、これまでの人生観まで否定されたようにとらえる生徒もいます。
　そういう場合でも、私たちは知識だけでは超えられない壁があることを具体的な問題を通じて伝えるようにしています。
これからグノーブルで学ぼうと考えている皆さんへ
物事を論理的に考え、自分の力で問題を分析し、解決する能力は東大をはじめとする難関大学の入試問題を解く上でますます必要とされている力です。
Q：最後に、これから学ぼうとする方々へメッセージをお願いします。
　大学自体が国際競争力を求められる中で、数学の受験問題もあるべき正しい方向に推移してきているように思います。
　問題文を読んで、条件を正しく把握する、目標は何かをしっかり捉える、その上で論理的に考えていく、といった様々な力が高いレベルで要求されるようになっています。発想力も必要です。ある部分のことだけを考えていればいいわけではなく、柔軟な発想で、いろいろなことを同時に考える過程を経て、やっとひとつの答えにたどり着くわけです。
　時に「実社会の問題には正解がないので、正解がひとつだけの受験勉強は役に立たない」という批判を聞きます。しかし、思考の訓練の場としても、現在受験で問われている数学は決してそれほど単純なものではないと思います。
　グノーブルは「受験をゴールとして、それを達成するために必要なことだけ教えます」という塾ではありません。
　しかし高校生になって大学受験が頭にちらついてくると、目先のことだけを判断基準として「これは意味がある」「これは意味がない」と、物事を簡単に切り捨ててしまいがちです。
　有意義か否かを問いたくなる気持ちは理解できますが、目の前のテストで良い点をとるためだけに意義を見出すのではなく、もっと先々に目を向けて考えることが大切です。入試を課している大学自体でさえ、今後どう生き残れるかを考えないといけない時代なのです。
　そうした時代の中で、受験数学を教える上で何ができるのかと考えたとき、短期的には大学受験の数学で点をとれるようにすることが大切なのは言うまでもありませんが、その後に残っていく「何か」、すなわち「人生を生き抜くための知恵や問題解決能力」まで伝えられたらいいなと考えています。
　さらに言えばこのような、物事を論理的に考え、自分の力で問題を分析し、解決する能力は、実は東大をはじめとする難関大学の入試問題を解く上でますます必要とされている力なのです。
　今これを読まれている高校生は、学年も学力も様々だと思います。しかし目標とするところに大きな違いはないはずです。ぜひ、グノーブルで数学の力を伸ばしていただきたいと思います。
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